數學界近日迎來一場引人矚目的跨界合作：知名數學家陶哲軒與人工智能GPT-5 Pro聯手，成功攻克了一個困擾學界三年的微分幾何難題。該問題涉及三維空間中光滑拓撲球面的體積與曲率關系，此前一直未能得到完整解答。
這項研究突破發生在陶哲軒嘗試將人工智能工具應用于非核心專業領域的過程中。作為分析、數論和組合學領域的權威，他此次挑戰的微分幾何問題超出了其常規研究范圍。該問題探討的是：當三維空間中光滑拓撲球面的主曲率絕對值不超過1時，其包圍的體積是否至少與單位球相同。
合作過程中，GPT-5 Pro展現出強大的計算與證明能力。系統在11分18秒內完成了復雜的不等式推導和恒等式驗證，不僅運用了陶哲軒熟悉的Stokes定理和Willmore不等式，還引入了他首次接觸的Minkowski第一積分公式。這種跨領域的工具運用，為問題解決開辟了新路徑。
研究團隊發現，人工智能在處理具體計算和局部證明時表現優異，但在整體策略制定上存在局限。當陶哲軒提出將問題轉化為擾動橢圓偏微分方程的思路時，GPT-5 Pro能夠準確執行相關計算，但在曲面形狀與球面差異較大的"Large Data"情形中，系統給出的窮舉方案缺乏啟發性。
值得關注的是，這次合作促使陶哲軒重新思考人工智能在數學研究中的定位。他觀察到AI工具在不同研究尺度上呈現差異化價值：在小尺度計算中效率顯著，中等尺度策略制定時效果有限，而在大尺度方法篩選上具有間接幫助。這種多層次的表現，為優化人機協作模式提供了重要參考。
回顧與人工智能的三年合作歷程，陶哲軒指出技術演進帶來的研究范式轉變。從早期ChatGPT在黎曼假設問題上的表層回答，到GPT-4在統計數據處理中的高效表現，再到當前系統在復雜證明中的深度參與，人工智能正逐步成為數學研究的輔助工具。他特別強調，在處理數值搜索等具體任務時，AI能夠發現人類可能忽略的解決方案。
對于人機協作的最佳模式，陶哲軒提出"適度自動化"理念。他認為理想的協作狀態應保持0%到100%之間的自動化水平，既通過技術減少重復勞動，又確保人類研究者始終參與關鍵環節的審查與修正。這種平衡有助于維持數學家對問題本質的直覺把握，同時提升研究效率。
當前研究雖然尚未完全解決原始問題，但已取得重要進展。特別是在曲面形狀與單位球面接近的"Small Data"情形中，團隊成功運用偏微分方程擾動理論建立了證明框架。這些成果為后續研究奠定了基礎，也展示了人工智能在跨學科問題解決中的潛力。
