著名數學家陶哲軒在探索人工智能與數學研究結合方面邁出了重要一步。作為菲爾茲獎得主，他近期嘗試使用ChatGPT-5 Pro處理一個自己并不熟悉的開放問題——曲率有界的球面體積下界問題，并詳細記錄了AI在研究過程中發揮的作用和存在的局限。

這個問題探討的是：在三維歐幾里得空間中，如果一個光滑沉浸球面的兩個主曲率絕對值都不超過1，那么它所包圍的體積是否至少不小于單位圓球的體積。陶哲軒將這個問題分為微擾區和非微擾區兩個部分進行研究。由于他對該問題的幾何直覺有限，且手頭分析工具主要適用于微擾情形，他決定將研究重點放在微擾區。

考慮到此前有評論指出該問題的凸面情形過于簡單，陶哲軒將注意力轉向更具一般性的星形對象。他設想通過積分形式表達問題的假設與結論，并借助積分不等式推進證明。由于微分幾何知識已較為生疏，他請AI進行相關計算。出乎意料的是，AI不僅準確完成了所有計算，還給出了星形情形下的完整證明，利用了斯托克斯定理、Willmore不等式等熟悉工具，也引入了Minkowski第一積分公式等新方法。

AI的證明過程簡潔到只需一行推導，這令陶哲軒感到震撼。他親自驗證了證明步驟，發現AI還提供了兩個獨立且令人信服的證明版本：一個基于散度定理，另一個采用流方法。驗證過程中，他發現網上關于Minkowski公式的完整證明過程很少，AI的補充顯得尤為珍貴。進一步分析后，他發現標準圓球是唯一的極小化解，且曲面偏離圓球形狀時，包圍體積反而增大。

隨后，陶哲軒讓AI分析“almost round”的情形，即平均曲率接近1的狀況。AI準確推導出：如果平均曲率足夠接近1，通過橢圓型強制性估計可以證明定理成立。更令人驚訝的是，AI指出這一結論并非新發現，因為平均曲率接近1的假設本身就隱含了星形性條件。

然而，AI并非完美無缺。在估計微擾非線性項時，它出現了輕微誤差，類似于非線性偏微分方程專家在初步推導時可能犯下的錯誤。陶哲軒認為，這更像是PDE理論中的小數據情形，問題在小范圍內可控，但大數據情形仍未解決。他推測整體上可能具有足夠的緊致性，可以將問題轉化為有限但龐大的數值PDE計算問題。AI認可這一想法，并提供了一個可行的數值方案輪廓，但這種方法本質上是一種暴力搜索，缺乏理論啟發性。

在小尺度上，AI在具體計算、推導和驗證等任務中表現出色，提供了實用且文獻中確有記載的證明。但隨著研究推進，陶哲軒意識到，若要進一步取得突破，需要微分幾何專家介入。于是，他將關鍵推理與結果整理成文章，發布在MathOverflow上，吸引更多專家討論。

發布后，他發現原問題的二維版本早已被解決，即著名的Pestov–Ionin定理。這一發現讓他意識到，問題的難點不在于微小偏差的分析，而在于理解極端非圓的幾何形態。他原本假設值得關注的主要是nearly round的集合，但圖中的例子展示了另一類極端情形：一些形狀相對圓潤的部分被細長的管狀結構連接，形成整體上遠離圓球但仍滿足條件的曲面。

對比新的直覺與之前的研究策略，陶哲軒發現自己犯了一個關鍵性假設錯誤：他默認沉浸球面的內徑是有界的，并在強制性分析中隱含使用了這一前提。事實上，他設想的數值方法也許能在給定直徑范圍內求解問題，但對于一般情形則無能為力。值得注意的是，AI在這一階段并未指出這一漏洞，反而表現出過度認同，幾乎贊同他提出的所有思路。因此，在中尺度層面，即整體策略制定方面，AI的幫助并不大。

這次反思讓陶哲軒對問題的核心難點有了更清晰的認識：真正需要應對的是那些極度偏離圓形的曲面，它們往往包含細長的圓柱、薄片或其他瘦長結構，在體積上貢獻甚微，卻能顯著拉伸幾何結構。他意識到，原先依賴的方法在這里并不適用。

進一步的閱讀使他了解到，星形情形實際上是問題中最容易的特殊情形。該部分的二維版本曾在Pankrashkin的論文中出現，而三維的替代性處理方式則出現在Qiu的最新論文中。

最終，陶哲軒認為這個問題超出了他現有數學工具箱的能力范圍，目前依然是一個開放問題。不過，從大尺度角度來看，AI的使用仍然是有益的。它讓他能更快速地探索、驗證并舍棄不合適的思路，同時也讓他學到了若干此前并不了解的微分幾何知識。他還將這次經歷與早前的另一場實驗進行了比較：在那次實驗中，他對問題的結果已有較強直覺，因此更容易判斷AI的正確性；而在這次研究中，AI的表現更具創造性，但也讓人更難以信任和引導其朝有效方向推進。

他最后指出，在自己專業領域之外與AI協作確實有探索價值，但必須保持謹慎與情境意識，否則很容易被似是而非的直覺所誤導。